No debes dudar entre la palabra arquímedes y la palabra arquímedez cuando quieras escribir, puesto que solamente existe una forma viable de escribir este término como es debido, y es: arquímedes. La palabra arquímedez sencillamente no se encuentra en el diccionario de la RAE.
Lo que deberías tener presente es que la confusión con las palabras que llevan las letras ‘x’ o ‘s’ suele venir de que, aun cuando supuestamente tienen que pronunciarse de modo diferenciado, una parte importante de personas que hablan español pronuncia las ‘x’ como si fueran /s/. Con todo, pronunciar de esta manera únicamente se considera correcta cuando la ‘x’ está al principio del término o finalizando una sílaba, y en ningún caso entre dos vocales, que es cuando hay que obviar el sonido /s/ y debe ser pronunciada como /k+s/ o /g+s/. Usualmente las dudas acerca de cuándo escribir ‘s’ o ‘x’ parten de una {mala pronunciación|pronunciación deficiente, por lo que escuchar la manera en que se pronuncian apropiadamente los términos es algo que puede servir como apoyo para escribir cada vez mejor y recordar cuándo se tiene que escribir ‘x’ y cuándo la letra ‘s’.
Lo que deberías tener presente es que el error cuando debemos escribir ‘x’ o ‘s’ se debe a que, por más que teóricamente se tienen que pronunciarse de forma diferenciada, la mayoría de hispanohablantes pronuncia la letra ‘x’ como si fueran /s/. No obstante, esta pronunciación únicamente está aceptada por la RAE cuando la ‘x’ está al inicio de la palabra o finalizando una sílaba, y en ningún caso entre dos vocales, que es cuando tenemos que evitar el sonido /s/ y debe ser pronunciada como /k+s/ o /g+s/. A menudo las dudas sobre cuándo escribir ‘s’ o ‘x’ derivan de una {mala pronunciación|pronunciación deficiente, por tanto, escuchar el modo en que se pronuncian apropiadamente las palabras nos puede ayudar a escribir de forma correcta y recordar cuándo es preciso escribir ‘x’ y cuándo ‘s’.
Así mismo es nuestro deseo, recomendarte una práctica muy eficaz para memorizar y recordar de un modo definitivo cómo se escribe de modo correcto la palabra arquímedes, y jamás te vuelvan a surgir dudas entre sí esta palabra se escribe con ‘x’ o con ‘s’. Consiste en elaborar una frase sencilla con la palabra arquímedes, incluyendo al final como conclusión ‘con s’ o ‘con x’, dependiendo de si la forma correcta de escribir el término es con ‘s’ o con ‘x’. De esta forma siempre te acordarás, es un truco infalible.