Jamás deberías dudar entre la palabra persistieron y el término perziztieron cuando debas escribir, debido a que solo nos encontramos con una manera posible de escribir esta palabra con corrección, y es: persistieron. El término perziztieron simplemente no aparece en el diccionario de la RAE.
Con el propósito de que recuerdes mejor el modo en que es preciso escribir persistieron, la definición del diccionario:
Hay algo que deberás tener siempre presente, y es que el error cuando debemos escribir ‘x’ o ‘s’ se debe a que, a pesar de que supuestamente tienen que pronunciarse de forma diferenciada, la mayoría de hablantes de lengua hispana pronuncia la letra ‘x’ como si fueran /s/. Sin embargo, pronunciar de este modo tan solo está bien cuando la ‘x’ se encuentra al inicio de la palabra o a final de sílaba, y jamás en posición intervocálica, que es cuando hay que evitar el sonido /s/ y debe ser pronunciada como /k+s/ o /g+s/. Habitualmente las dudas a la hora de escribir parten de una {mala pronunciación|pronunciación errónea, por tanto, escuchar la manera en que se pronuncian correctamente las palabras nos puede ayudar a escribir cada vez mejor y ser capaces de saber cuándo es preciso escribir la letra ‘x’ y cuándo la letra ‘s’.
Lo que deberías tener presente es que el error cuando debemos escribir ‘x’ o ‘s’ suele deberse a que, por más que supuestamente tienen que pronunciarse de forma diferenciada, la mayor parte de hispanohablantes pronuncia la letra ‘x’ como si fueran /s/. No obstante, esta forma de pronunciar solamente está bien cuando la ‘x’ está al inicio del vocablo o a final de sílaba, y nunca jamás entre dos vocales, que es cuando hay que evitar el sonido /s/ y se debe pronunciar como /k+s/ o /g+s/. A menudo las dudas acerca de cuándo escribir ‘s’ o ‘x’ parten de una {mala pronunciación|pronunciación desacertada, por ese motivo, escuchar el modo en que se pronuncian correctamente los términos puede contribuir en gran medida para que podamos escribir mejor y recordar cuándo es preciso escribir la letra ‘x’ y cuándo ‘s’.
Nos gustaría asimismo, proponerte un ejercicio muy eficaz para que memorices y recordar de un modo definitivo cómo se escribe de forma correcta la palabra persistieron, y nunca más se te vuelvan a generar dudas entre sí esta palabra se escribe con ‘x’ o con ‘s’. El truco radica en construir una frase simple con la palabra persistieron, incorporando al final como conclusión ‘con s’ o ‘con x’, dependiendo de si el modo correcto de escribir el término es con o con la letra ‘x’. De esta forma no te olvidarás nunca, puedes darlo por seguro.