No deberías dudar entre el término exigirían y la palabra exijirían cuando debas escribir, ya que únicamente hay una manera posible de escribir este término con corrección, y es: exigirían. El término exijirían sencillamente no se encuentra en el diccionario de la RAE.
Con el propósito de que no vuelvas a tener dudas y recuerdes el modo en que deberías escribir exigirían, queremos aportarte la definición del diccionario:
Lo que deberías tener presente es que la confusión cuando debemos escribir las letras ‘x’ o ‘s’ suele deberse a que, aun cuando supuestamente tienen que pronunciarse de forma diferenciada, una parte importante de hablantes de lengua hispana pronuncia las ‘x’ como si fuesen /s/. Con todo, esta forma de pronunciar únicamente es correcta cuando la ‘x’ está al inicio del término o a final de sílaba, y nunca en posición intervocálica, que es cuando tenemos que evitar la pronunciación /s/ y se debe pronunciar como /k+s/ o /g+s/. Usualmente las dudas a la hora de escribir parten de una {mala pronunciación|pronunciación desacertada, por lo que escuchar atentamente el modo en que se pronuncian adecuadamente las palabras nos puede ayudar a escribir de forma correcta y aprender cuándo es preciso escribir la letra ‘x’ y cuándo la letra ‘s’.
Debes tener en cuenta que el error a la hora de escribir ‘x’ o ‘s’ suele venir de que, por más que en teoría tienen que pronunciarse de forma que se puedan distinguir, una parte importante de hispanohablantes pronuncia las ‘x’ como si fuesen /s/. A pesar de todo, este modo de pronunciar tan solo es correcta cuando la ‘x’ se encuentra al principio de la palabra o finalizando una sílaba, y nunca jamás en posición intervocálica, que es cuando hay que evitar la pronunciación /s/ y debe ser pronunciada como /k+s/ o /g+s/. Habitualmente las dudas en el momento de escribir parten de una {mala pronunciación|pronunciación deficiente, por lo cual prestar atención el modo en que se pronuncian adecuadamente las palabras puede contribuir en gran medida para que podamos escribir mejor y recordar cuándo es preciso escribir ‘x’ y cuándo ‘s’.
Quisiéramos además, recomendarte un ejercicio muy útil para memorizar y recordar siempre cómo escribir correctamente la palabra exigirían, y nunca jamás tengas otra vez dudas entre sí este término se escribe con ‘x’ o con ‘s’. Se trata de formar una frase simple con el vocablo exigirían, incorporando al final como conclusión ‘con s’ o ‘con x’, dependiendo de si el modo correcto de escribir el vocablo es con la letra ‘s’ o con ‘x’. De esta forma no te olvidarás nunca, es un truco infalible.