Nunca deberías dudar entre el término perseguirle y la palabra perxeguirle cuando debas escribir, debido a que solamente nos encontramos con una manera viable para escribir esta palabra con corrección, y es: perseguirle. El término perxeguirle simplemente no corresponde a ninguna palabra que se encuentre en el diccionario de la RAE.
Hay algo que deberás tener siempre presente, y es que el error cuando debemos escribir las letras ‘x’ o ‘s’ se debe a que, a pesar de que supuestamente tienen que pronunciarse de modo diferenciado, la mayor parte de hablantes de español pronuncia la letra ‘x’ como si fueran /s/. A pesar de todo, esta forma de pronunciar únicamente está bien cuando la ‘x’ está al principio de la palabra o a final de sílaba, y nunca jamás entre dos vocales, que es cuando tenemos que evitar la pronunciación /s/ y pronunciarse como /k+s/ o /g+s/. Habitualmente las dudas a la hora de escribir derivan de una {mala pronunciación|pronunciación desacertada, por ese motivo, escuchar con atención la forma en que se pronuncian adecuadamente los vocablos puede contribuir en gran medida para que podamos escribir mejor y aprender cuándo se tiene que escribir la letra ‘x’ y cuándo la letra ‘s’.
Algo a tener en cuenta es que la confusión cuando debemos escribir ‘x’ o ‘s’ se debe a que, pese a que en teoría tienen que pronunciarse de forma diferenciada, una parte importante de personas que hablan español pronuncia la letra ‘x’ como si fuesen /s/. Con todo, pronunciar de este modo tan solo está aceptada por la RAE cuando la ‘x’ se encuentra al inicio de la palabra o a final de sílaba, y jamás en posición intervocálica, que es cuando se hace necesario evitar el sonido /s/ y debe ser pronunciada como /k+s/ o /g+s/. Usualmente las dudas acerca de cuándo escribir ‘s’ o ‘x’ nacen de una {mala pronunciación|pronunciación equivocada, por lo que escuchar con atención la forma en que se pronuncian adecuadamente los vocablos es algo que puede servir como apoyo para escribir de un modo más correcto y ser capaces de saber cuándo hay que escribir ‘x’ y cuándo la letra ‘s’.
Así mismo deseamos, proponerte un ejercicio muy útil para que memorices y recordar de un modo definitivo cómo escribir de modo correcto la palabra perseguirle, y nunca más te sientas nuevamente dubitativo entre sí este término debe escribirse con ‘x’ o con ‘s’. El truco radica en construir una frase simple con el término perseguirle, que incluya al final como conclusión ‘con s’ o ‘con x’, dependiendo de si el modo correcto de escribir el término es con o con la letra ‘x’. Así siempre te acordarás, te lo aseguramos.