No debes dudar entre perseguirle y el término perzeguirle a la hora de escribir, debido a que solamente hay una forma posible de escribir este término de forma correcta, y es: perseguirle. La palabra perzeguirle sencillamente no se encuentra en el diccionario de la RAE.
Lo que deberías tener presente es que la confusión a la hora de escribir ‘x’ o ‘s’ se debe a que, a pesar de que teóricamente deben pronunciarse de forma que se puedan distinguir, una parte importante de hablantes de lengua hispana pronuncia la letra ‘x’ como si fuesen /s/. Con todo, esta pronunciación únicamente se considera correcta cuando la ‘x’ se encuentra al inicio del término o finalizando una sílaba, y en ningún caso en posición intervocálica, que es cuando hay que evitar el sonido /s/ y se debe pronunciar como /k+s/ o /g+s/. Habitualmente las dudas a la hora de escribir nacen de una {mala pronunciación|pronunciación inexacta, por lo cual escuchar el modo en que se pronuncian correctamente los términos puede servir de ayuda para escribir cada vez mejor y ser capaces de saber cuándo es preciso escribir ‘x’ y cuándo ‘s’.
Hay algo que deberás tener siempre presente, y es que la confusión con las palabras que llevan ‘x’ o ‘s’ se debe a que, pese a que teóricamente se tienen que pronunciarse de modo diferenciado, un grueso importante de personas que hablan español pronuncia la letra ‘x’ como si fueran /s/. A pesar de todo, esta pronunciación únicamente está aceptada por la RAE cuando la ‘x’ se encuentra al principio de la palabra o a final de sílaba, y en ningún caso entre dos vocales, que es cuando se tiene que evitar la pronunciación /s/ y pronunciarse como /k+s/ o /g+s/. Frecuentemente las dudas en el momento de escribir derivan de una {mala pronunciación|pronunciación errónea, por lo que escuchar cómo se pronuncian correctamente los vocablos puede ayudarnos a escribir correctamente y recordar cuándo se tiene que escribir ‘x’ y cuándo ‘s’.
Desearíamos asimismo, recomendarte un ejercicio muy útil para que memorices y recordar de forma definitiva cómo se escribe de forma correcta la palabra perseguirle, y nunca más te vuelvan a surgir dudas entre sí este término se escribe con ‘x’ o con ‘s’. Consiste en construir una oración simple con la palabra perseguirle, que incluya al final como conclusión ‘con s’ o ‘con x’, dependiendo de si la forma correcta de escribir la palabra es con o con ‘x’. De esta manera te acordarás siempre, puedes estar seguro.